Corso di insegnamento “Fisica Generale II”

Corso di Laurea in Matematica

AA 2016-2017 – docente titolare: Stefania Spagnolo

 

 

II Semestre del secondo anno di Corso.

Crediti     6

Link all’orario.

 

1) Contenuti del Corso

Elettricità e Magnetismo

Dettaglio delle lezioni

 

2) Modalità di valutazione degli studenti

Esame orale; può essere richiesta la discussione di problemi.

 

3) Modalità di prenotazione dell’esame e date degli appelli

Gli studenti possono prenotarsi per l’esame finale esclusivamente utilizzando le modalità previste dal sistema VOL

 

4) Testi suggeriti

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci  Fisica, volume IIEdiSES

La Fisica di Berkeley,  Vol. II: Elettricità e magnetismo, di Edward Mills Purcell

E. Amaldi, R. Bizzarri,  G. PizzellaFisica Generale, elettromagnetismo, relatività, ottica”, Zanichelli Editore

                           

4) Risorse online

Physics II MIT  http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-physics-ii-electricity-and-magnetism-spring-2007/readings/

 

 

 

 

 

Contenuti delle lezioni

 

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Lezione n. 1 Lunedi 27 febbraio ’17

Introduzione; coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche.

Campi scalari e campi vettoriali.

Rappresentazione di un campo scalare, superfici di livello.

Gradiente di un campo scalare; interpretazione geometrica. Teorema del gradiente.

Gradiente di un campo scalare e campi vettoriali conservativi.

Fonti: E. Amaldi, R. Bizzarri,  G. Pizzella; Physics II MIT 

 

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Lezione n. 2 Martedì 28 febbraio ’17

Rappresentazioni di campi vettoriali; linee di campo. 

Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie generica.

Divergenza e rotore di un campo vettoriale. 

Teorema della divergenza e teorema di Stokes. 

Campi irrotazionali e campi solenoidali.

Fonti: E. Amaldi, R. Bizzarri,  G. Pizzella; Physics II MIT 

 

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Lezione n. 3 Lunedì 6 marzo ’17

Legge di Coulomb e principio di sovrapposizione. 

Campo elettrostatico prodotto da una distribuzione generica di cariche.

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci

Problemi:

1- confronto dell’intensità di forza gravitazionale e coulombiana nell’atono di idrogeno;

2- sfere sospese di stessa massa e carica, condizione di equilibrio;

3- sistema di 3 cariche identiche ai vertici di un triangolo equilatero, forze su ciascuna carica e al centro del triangolo;

4- riconoscere caratteristiche dei campi vettoriali dalla loro rappresentazione mediante linee di forza,

rappresentare campi vettoriali di espressione cartesiana data;

5- esempi di calcolo di flusso di un campo vettoriale.

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci; Physics II MIT 

 

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Lezione n. 4 Martedì 7 marzo ’17

Lavoro della forza elettrostatica, potenziale elettrostatico.

Energia potenziale elettrostatica di una carica di prova in un campo Coulombiano e

nel campo prodotto da una distribuzione discreta di cariche puntiformi.

Energia elettrostatica di un sistema di cariche (discreto e continuo).

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci

Problemi (proposti e/o risolti):

1- distribuzione uniforme di carica su una sbarretta rettilinea di lunghezza L e spessore trascurabile: campo in un punto dell’asse, in un punto del piano mediano e in un punto generico; Limite per distanza (tra punto e sbarretta) che tende a infinito; Limite per L che tende a infinito; potenziale elettrostatico in un punto del piano mediano;

2- distribuzione di carica uniforme su un anello di raggio R e spessore trascurabile; campo in un punto sull’asse dell’anello; Limite per distanza dal centro dell’anello (z) che tende a infinito; potenziale elettrostatico in un punto dell’asse;

3- distribuzione di carica uniforme su un disco di raggio R e spessore trascurabile; campo in un punto sull’asse; Limite per R che tende all’infinito; potenziale elettrostatico in un punto dell’asse;

4- campo elettrico determinate da due strati superficiali piani e infinitamente estesi carichi uniformemente con densità superficiale uguale ed opposta; potenziale elettrostatico;

5- moto di un elettrone in un campo elettrico uniforme perpendicolare alla sua velocità (principio di funzionamento di un oscilloscopio);

6- barretta cilindrica uniformemente carica di altezza h e raggio R: campo elettrico in un punto esterno al cilindro sull’asse 

 

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Lezione n. 5 Lunedì 13 marzo ’17

Esperienza di Rutherford ed esperienza di Millikan.

Il dipolo elettrico; potenziale elettrostatico e campo elettrico in un punto generico dello spazio a distanza r>>d (distanza tra le cariche costituenti il dipolo).

 

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Lezione n. 6 Martedì 14 marzo ’17

Energia potenziale di un dipolo immerso in un campo elettrico esterno, forza e momento torcente su di esso.

Legge di Gauss in forma integrale e locale.

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci

Problemi (proposti e/o risolti):

1- Interazioni tra dipoli paralleli e antiparalleli separati da una distanza r in direzione perpendicolare all’asse dei dipoli;

2- Interazioni tra dipoli paralleli e antiparalleli separati da una distanza r lungo l’asse dei dipoli.

3- Moto di un dipolo di momento di inerzia I in campo elettrico uniforme.

4- Calcolo della divergenza di E per il campo prodotto da una carica puntiforme (in coordinate cartesiane e sferiche).

 

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Lezione n. 7 Lunedì 20 marzo ’17

Strategia per il calcolo di campo e potenziale elettrostatico mediante la legge di Gauss e considerazioni di simmetria.

Teorema di Coulomb. Equazioni di Poisson e Laplace. Proprietà delle funzioni armoniche, soluzioni dell’equazione di Laplace. 

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci

Problemi (proposti e/o risolti):

Calcolo di E e potenziale prodotto da:

1- una sfera uniformemente carica in ogni punto dello spazio (usando la legge di Gauss);

2- superficie sferica uniformemente carica;

3- superficie cilindrica infinitamente lunga e uniformemente carica

4- cilindro uniformemento carico

5- piano infinito con distribuzione uniforme siperficiale di carica

 

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Lezione n. 8 Martedì 21 marzo ’17

Espressione dell’energia elettrostatica di un sistema in funzione del campo elettrico.

Conduttori all’equilibrio elettrostatico, proprietà generali. Unicità della soluzione del problema generale dell’elettrostatica (con condizioni alla Dirichlet,  Neumann o miste).

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci

Problemi (proposti e/o risolti):

Calcolo di E e potenziale prodotto da:

1- uno strato piano infinitamente esteso di spessore d e densita’ di carica uniforme;

2- (usando 1) campo elettrico e potenziale prodotti da una giunzione p-n (due strati piani infinitamente contigui con densitarho_p [negativa] e rho_n e spessori b e a, rispettivamente tali che -b*rho_p = a*rho_n);

3- data una espressione analitica del potenziale determinare il campo e la distribuzione di carica che puoaverla prodotta.

 

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Lezione n. 9 Lunedì 27 marzo ’17

Metodo delle cariche imagine. Sistema di N conduttori, relazioni tra cariche e potenziali; coefficienti di potenziale e di capacità.  

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci

Problemi (proposti e/o risolti):

Calcolo di E e potenziale prodotto da:

1- piano infinito conduttore a potenziale nullo e carica puntiforme;

2- sfera conduttrice a potenziale nullo (o fisso o a carica totale nota) e carica puntiforme;

3- sfera conduttrice in campo elettrico uniforme;

4- coefficienti di potenziale e di capacità per il sistema composto da una sfera conduttrice al centro di una sfera cava.

 

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Lezione n. 10 Martedì 28 marzo ’17

Capacità di un sistema di due conduttori; energia immagazzinata nel capacitore. Corrente elettrica e densità di corrente; modello di Drude della conduzione elettrica. Equazione di continuità della carica. Legge di Ohm.  Potenza erogata e dissipata in un circuito percorso da corrente.

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci

Problemi (proposti e/o risolti):

1- capacità di un condensatore sferico, cilindrico e piano.

 

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Lezione n. 11 Lunedì 3 aprile ’17

Esempi di circuiti con generatori di d.d.p. costante; carica e scarica di un condensatore (e bilancio energetico); resistori in serie e parallelo; determinazione dei parametri microscopici (velocità di deriva, tempo caratteristico tra due collisioni) del moto dei portatori di carica a partire dalla corrente in un materiale conduttore.

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci

Problemi (proposti e/o risolti):

1- Esercizi sulla definizione di corrente elettrica.

2- Esercizi su semplici circuiti con resistori e condensatori (generatori di tensione costante).

 

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Lezione n. 12 Martedì 4 aprile ’17

Definizione di carica in movimento. Invarianza della carica elettrica per trasformazioni di Lorentz. Campo elettrico prodotto da una carica in movimento. Forza agente su una carica in moto con velocità uniforme v in direzione parallela a una corrente (derivazione basata sulle trasformazioni di Lorentz tra il sistema di riferimento in cui la carica è a riposo e il laboratorio).

Fonti: La Fisica di Berkeley

 

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Lezione n. 13 Lunedì 10 aprile ’17

Fenomeni magnetici.  Moto di cariche in presenza di campo magnetico uniforme.

Forza di Lorentz e definizione operativa del campo magnetico e caratteristiche generali (div di B=0).

II Legge di Laplace (forza elementare su un tratto di filo percorso da corrente immerso in campo magnetico).

Momento di dipolo magnetico associato a una spira piana e rigida percorsa da corrente.

Momento delle forze ed energia potenziale di una spira immersa in campo magnetico uniformePiccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio.

Fonti: Mazzoldi, Nigro, Voci

 

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Lezione n. 14 Martedì 11 aprile ’17

Campo magnetico prodotto da una carica in moto con velocità costante.  Trasformazioni del campo elettromagnetico sotto trasformazioni di Lorentz.  Trasversalità del campo elettrico (e magnetico) prodotti da una carica in moto con velocità prossima alla velocità della luce

Fonti: J.D. Jackson, Classical Electrodynamics

I Legge di Laplace: campo magnetico prodotto da una spira percorsa da corrente e da una distribuzione volumetrica di corrente con densità J. Dimostrazione nel caso di un filo infinito percorso da corrente.

Fonti: La Fisica di Berkeley– Elettricità e magnetismo

 

Materiale extra (non richiesto per l’esame)

Trasformazioni del campo elettromagnetico sotto trasformazioni di Lorentz. 

Dimostrazione (basata sul espressione del campo E e B prodotto da una carica in moto con velocità costante) della I legge di Laplace nel caso di un filo infinito percorso da corrente.

 

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Lezione n. 15 Martedì 18 aprile ’17  - rimandata

 

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Lezione n. 15 Lunedì 24 aprile ’17

Potenziale vettore (dalla I legge di Laplace, dimostrazione che B = rot A, quindi div B = 0, espressione di A in funzione della densità di corrente). Legge di Ampere in forma differenziale e integrale. Equazioni di Maxwell in approssimazione di cariche fisse nello spazio e correnti stazionarie. Invarianza dei campi per l’aggiunta del gradiente di una funzione scalare al potenziale vettore; gauge di Coulomb (div A=0) ed equazione a di Poisson per le componenti del potenziale vettore. Uso della legge di Ampere in forma integrale in presenza di simmetrie per il calcolo del campo magnetico.

Fonti: Mazzoldi Nigro Voci 

Problemi (proposti e/o risolti):

1- Campo magnetico generato da un cilindro infinito percorso di corrente con densità uniforme parallelamente all’asse.

 

Materiale extra (non richiesto per l’esame)

Dimostrazione:  div A = 0;

Dimostrazione: derivazione della legge di Ampere locale dall’espressione di A in funzione di J e identità di calcolo vettoriale

 

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Lezione n. 16 Martedì 2 maggio ’17

Fonti: Mazzoldi Nigro Voci 

Problemi (proposti e/o risolti):

1- Campo sul piano mediano di un segmento percorso da corrente (Mazzoldi Nigro Voci

2- Campo B sull’asse di una spira circolare percorsa da corrente. (Mazzoldi Nigro Voci

3- Campo sull’asse di un solenoide di lunghezza finite come somma di contributi elementari dovuti alle singole spire

4- Potenziale vettore in ogni punto dello spazio in presenza di una distribuzione cilindrica di densita’ di corrente uniforme

5- Campo generato da un solenoide di lunghezza infinita (con Ampere)

6- Campo magnetico prodotto da un solenoide toroidale (con Ampere)

7- Campo magnetico da una corrente piana infinitamente estesa (con Ampere)

8- Potenziale vettore di per un solenoide rettilineo infinito.

 

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Lezione n. 17 Lunedì 8 aprile ’17

Flusso attraverso un circuito del campo B prodotto da una spira percorsa da corrente.

Eguaglianza dei coefficienti di mutua induzione. 

Induzione eletromagnetica; Legge di Faraday Neumann e sua dimostrazione nel caso di flusso tagliato (circuito in modo in campo magnetico costante ma dipendente dalla posizione nello spazio; campo ellettromotore = forza di Lorentz per carica unitaria).

Deduzione della legge differenziale di Faraday-Neumann per il caso di B dipendente dal tempo. 

Fonti: Mazzoldi Nigro Voci 

 

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Lezione n. 18 Martedì 9 maggio ’17

Autoinduzione e mutua induzione.

Fonti: Mazzoldi Nigro Voci 

Dimostrazione della legge di Faraday-Neumann nel caso di spira fissa nello spazio e sorgenti di campo magnetico costante ma non uniforme in moto (caso di B(y) diretto come z e spira rettangolare nel piano x-y, sorgenti in moto con velocità –v lungo y): campo elettromotore uguale formalmente a quello calcolato nel caso di flusso tagliato dalla spira in moto con velocita’ v lungo y e sorgenti del campo, B(y) diretto come z, fisse nel laboratorio.

Fonti: si vedano appunti sulle trasformazioni dei campi elettromagnetici, tra sistemi di riferimento in moto relativo descritto dalle trasformazioni di Lorentz.

Problemi (proposti e/o risolti):

1- Spira circolare con resistenza R in una regione di campo magnetico uniforme e variabile linearmente con il tempo (Mazzoldi Nigro Voci)

2- generatore di d.d.p sinusoidale (spira in moto rotatorio con velocità angolare costante in campo magnetico uniforme )

3- circuito con generatore di d.d.p. costante, induttanza e resistore

Fonti: Mazzoldi Nigro Voci 

 

Materiale extra (non richiesto per l’esame)

Dimostrazione della legge di Faraday-Neumann nel caso di spira fissa nello spazio e sorgenti di campo magnetico costante ma non uniforme in moto.

 

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Lezione n. 19 Lunedì 15 aprile ’17

Energia associata a un circuito percorso da corrente con autoinduttanza L e densità volumetrica di energia associata al campo magnetico. Corrente di spostamento ed equazione di Ampere-Maxwell.  Calcolo del campo magnetico indotto in un condensatore a piatti piani e paralleli in fase di carica.

Fonti: Mazzoldi Nigro Voci 

Problemi (proposti e/o risolti):

1- Cefficiente di autoinduzione per un solenoide rettilineo di lunghezza infinita.

2- Bilancio Energetico: circuito con generatore di d.d.p. costante, induttanza e resistore

 

 

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Lezione n. 20 Martedì 16 maggio ’17

Problemi (proposti e/o risolti):

1- Cefficiente di autoinduzione per un cavo coassiale (costituito da superfici cilindriche o da cilindro interno e superficie cilindrica esterna)

2- circuito con generatore sinusoidale di ddp, resistore  e condensatore con un toro all’interno del condensatore; calcolo della corrente nellàavvolgimento del toro.

3- spira con sezione variabile (barretta conduttrice che chiude il circuito in caduta libera) in presenza di campo uniforme;  calcolo della velocità della barretta in funzione del tempo

4- spira rettangolare nel piano che contiene un filo rettilineo infinito percorso da corrente variabile nel tempo (decrescente esponenzialmente); corrente nella spira e carica che attraversa una sezione della spira tra il tempo 0 e infinito. Mutua induttanza delle due spire.

Fonti: Mazzoldi Nigro Voci 

 

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Lezione n. 21 Lunedì 22 aprile ’17

Problemi (proposti e/o risolti):

1- Soluzione di onda piana delle eq. di Maxwell nel vuoto e in assenza di sorgenti.  

2- F.e.m. indotta in un avvolgimento toroidale al centro di un condensatore collegato a un generatore di d.d.p. sinusoidale.

3- Anello isolante con distribuzione lineare di carica proporzionale a sin\theta: calcolo del campo elettrico al centro e sull’asse x e y a grandi distanze.

4- cilindri rotanti coassiali con distribuzione superficiale di carica: calcolo del campo elettrico e magnetico.

 

 

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Lezione n. 22 Martedì 23 maggio ’17

Equazioni per i potenziali in forma covariante.

Problemi (proposti e/o risolti):

1- Momento di dipolo magnetico indotto in un atomo dalla variazione di campo magnetico (effetto alla base del diamagnetismo).

2- Distribuzione sperica di carica a densitaproporzionale a 1/r; campo elettrostatico e potenziale.

3- Sfera conduttrice carica e carica puntiforme a grande distanza: calcolo della forza, energia elettrostatica del sistema.

4- Cilindro conduttore con cavitacilindrica fuori asse all’interno: calcolo del campo magnetico in ogno punto dello spazio. Calcolo della autoinduttanza.

5- sistemi di superfici sferiche di material conduttore: campo elettrico ed energia elettrostatica del sistema.

6- filo con densita’ di carica lineare uniforme e cilindro coassiale con densitasuperficiale di carica; potenziale in ogni punto dello spazio,

7- due fili conduttori paralleli percorsi dalla stessa corrente nello stesso verso: calcolo di B sull’asse perpendicolare equidistante da essi. Condizione di forza nulla su un dipolo magnetico parallel a B.

8- disco con distribuzione superficiale di carica e sferetta conduttrice (a potenziale fissato) a distanza z sull’asse passante per il centro. Calcolo della carica indotta sulla sferetta e forza su di essa.