Camillo Imbimbo

Professore Associato di Fisica Teorica (FIS02)

CURRICULUM DELL'ATTIVITÀ' DIDATTICA E SCIENTIFICA
DURANTE IL PERIODO DI STRAORDINARIATO: 1998-2001

Attività didattica: A.A. 1998-2001

La mia attività didattica si è svolta presso il Dipartimento di Fisica dell'Università di Lecce, dove ho preso servizio il 1° Novembre 1998.

A.A. 1998-1999: 1 Corso Semestrale Intensivo di "Istituzioni di Fisica Teorica'' (Secondo Semestre).

A.A. 1999-2000: 1 Corso Semestrale Intensivo di "Istituzioni di Fisica Teorica''(Primo Semestre) .

A.A. 1999-2000: 1 Modulo di "Meccanica Quantistica''.

A.A. 2000-2001: 1 Corso Semestrale Intensivo di "Istituzioni di Fisica Teorica'' (Primo Semestre).

A.A. 2000-2001: 1 Modulo di "Teoria Quantistica dei Campi'' per il Corso di Dottorato in Fisica dell'Università di Lecce.

Sintesi dei principali risultati e delle motivazioni dell'attività di ricerca svolta

Una delle aree principali su cui si è incentrata la mia attività di ricerca nel periodo 1998-2001 è l'analisi delle proprietà quantistiche delle teorie topologiche di stringa che si propagano su varietà di Calabi-Yau. A questo argomento sono dedicate le pubblicazioni [1,2,5,7,8] della lista allegata.

Una delle difficoltà tecniche principali delle studio delle teorie di stringe usuali è rappresentata dal fatto che queste teorie, dal punto di vista della teoria di campi ordinaria, descrivono un numero infinito di campi interagenti. I modelli di stringa topologica, in contrasto, descrivono un numero estremamente ridotto di stati fisici e possono dunque essere pensati come laboratori teorici nei quali tentare di comprendere alcune delle questioni concettualmente più ardue poste dalla teoria della corda. Stringhe ``fisiche'' e stringhe topologiche si differenziano per un altro aspetto importante: gli stati fisici delle stringhe topologica, contrariamente a quelli delle stringhe usuali, non hanno una natura locale nello spazio-tempo; non sono, cioè, associati a particelle ma corrispondono a gradi di libertà globali della varietà spazio-temporale. In termini geometrici questi stati sono in corrispondenza con parametri - denominati ``moduli'' - che caratterizzano le proprietà globali della geometria dello spazio ambiente. Da questo punto di vista, pertanto, le stringhe topologiche forniscono un'arena interessante dove studiare il comportamento infra-rosso delle teorie quantistiche.

Nel caso particolare delle stringhe topologiche che si propagano su una varietà di Calabi-Yau X di dimensione complessa 3 - il tema principale della ricerca da me svolta - esistono due possibili modelli: quelli di tipo A, i cui stati fisici sono in corrispondenza con le strutture di Kähler di X, e quelli di tipo B che dipendono dai moduli delle deformazioni della struttura complessa di X. Le proprietà quantistiche dei due modelli sono caratterizzate dalla loro struttura di BRS, studiata in dettaglio in [1].

Una circostanza che svolge un ruolo centrale nell'analisi di questi modelli è la seguente: l'azione della teoria di campo bi-dimensionale relativa al modello B è, contrariamente a quella del modello A, BRS-esatta. Sulla scorta di questa osservazione, l'assunzione generale della letteratura dedicata a questo argomento è che l'approssimazione semi-classica sia esatta per il modello B. In effetti è proprio questa assunzione, coniugata con l'ipotesi delle simmetria ``mirror'', che ha permesso di determinare le ampiezze del modello A che ricevono, in generale, complicate correzioni istantoniche: dal punto di vista matematico questo ha portato a spettacolari predizioni di tipo algebraico-geometrico riguardanti le curve olomorfe della varietà di Calabi-Yau.

Un altro risultato importante in questo campo è stata la scoperta della cosidetta ``anomalia olomorfa''. Lo spazio dei moduli delle stringhe topologiche, sia di tipo A che di tipo B, ha una naturale struttura olomorfa. Classicamente, le deformazioni anti-olomorfe sono BRS-esatte, corrispondono cioè a delle variazioni del gauge-fixing della teoria. Ci si potrebbe pertanto aspettare che le ampiezze di stringa per questi modelli siano delle funzioni olomorfe dei moduli. In realtà questa aspettativa si rivela inesatta: l'equazione dell'anomalia olomorfa cattura precisamente la mancanza di olomorfia delle ampiezze fisiche. Questo fenomeno è stato interpretato nella letteratura come una rottura quantistica - un'anomalia - della simmetria di BRS.

Il mio interesse in questo campo muove dall'osservazione che il paradigma descritto - e generalmente accettato - presenta degli aspetti paradossali: da un lato, dato che l'approssimazione semi-classica per il modello B è supposta esatta, ci si aspetterebbe che le proprietà quantistiche della teoria di campo siano banali, dall'altro si afferma che la simmetria di gauge locale che caratterizza questo stesso modello sia rotta da anomalie quantistiche!

Per quanto riguarda la presunta semi-classicità del modello B, l'osservazione cruciale è rammentare che le ampiezze di stringa sono ottenute valutando dapprima i correlatori del corrispondente modello bi-dimensionale superconforme su una superficie di Riemann a moduli fissati e successivamente integrando il risultato ottenuto rispetto ai moduli di Riemann. Le ampiezze sono pertanto determinate a meno di termini, detti termini di contatto, che hanno supporto sul bordo dello spazio dei moduli delle superfici di Riemann. I termini di contatto sono determinati, in linea di principio, da richieste di simmetria, cioè da identità di Ward che specificano la dipendenza delle ampiezze dai parametri geometrici che appaiono nel gauge-fixing. Per esempio, per il modello B, le identità di Ward in questione devono esprimere la richiesta che il modello sia indipendente dalla scelta, associata ad un particolare gauge-fixing, della struttura di Kähler dello spazio ambiente.

La BRS-esattezza dell'azione del modello B garantisce soltanto che una scelta appropriata del gauge rende nulle le correzioni quantistiche alle ampiezze fisiche, localmente sullo spazio dei moduli delle superfici di Riemann. Le ampiezze così definite non risultano però indipendenti dal gauge-fixing: devono essere supplementate da termini di contatto che racchiudono pertanto la non-banalità quantistica modello B.

Nei miei lavori dedicati a questo argomento vengono derivate le identità di Ward in questione. La non banalità di queste identità è dovuta alla circostanza, a sua volta legata alla BRS-esattezza dell'azione, che le osservabili del modello B dipendono esplicitamente dalla scelta della azione in quanto elementi della comologia di BRS modulo l'equazioni del moto. Nel linguaggio del formalismo di Batalin-Vilkoviski, questo si traduce nella dipendenza delle osservabili dagli anti-campi. La derivazione delle identità di Ward rilevanti è dovuta pertanto passare per la determinazione degli osservabili corrispondenti ad una scelta arbitraria dell'azione è questo uno dei risultati tecnicamente più ardui e originali dei lavori [5,7,8].

Nel caso delle ampiezze di stringa su superfici sferiche è possibile risolvere le identità di Ward ed ottenere espressioni esplicite per i termini di contatto che rendono le ampiezze BRS-invarianti. Questi termini di contatto, che rappresentano l'intero contenuto non banale delle ampiezze di stringa, dipendono in maniera non locale dalla metrica della varietà ambiente di Calabi-Yau e quindi sono intrinsecamente non-pertubativi dal punto di vista dell'espansione semi-classica della teoria di campo bi-dimensionale. Il loro contributo alle ampiezze può essere interpretato come l'effetto di una particolare connessione sullo spazio dei moduli delle strutture complesse della varietà ambiente. E' questa la connessione che emerge nella cosiddetta geometria speciale, o teoria delle deformazioni di Hodge, un capitolo della geometria differenziale che descrive alcune proprietà dello spazio dei moduli delle strutture complesse delle varietà di Calabi-Yau. Storicamente il ruolo di questa connessione nella costruzione delle ampiezze del modello B era stato postulato piuttosto che derivato: il contributo essenziale della mia ricerca può in sostanza essere visto come la comprensione della rilevanza della geometria speciale dal punto di vista della teoria quantistica di campo bi-dimensionale che vive sul ``foglio d'universo'' della stringa.

La non-olomorfia delle ampiezze di stringa sulle superfici di genere zero è completamente spiegata dalla dipendenza dei termini di contatto dalla connessione della geometria speciale (cioè dalla sua curvatura). L'anomalia olomorfa riflette dunque tutt'altro che un'anomalia della simmetria di BRS: è piuttosto, almeno a genere zero, la conseguenza necessaria della richiesta di invarianza di gauge delle ampiezze di stringa.

L'apparente paradosso, citato più sopra, connesso con la BRS-esattezza delle deformazioni anti-olomorfe, è risolto dalla osservazione [2,5] che tali deformazioni non sono realmente BRS-esatte se si tiene conto in maniera esplicita dell'accoppiamento del modello al multipletto della gravità topologica (questa circostanza era stata trascurata nella letteratura precedente): le deformazioni anti-olomorfe sono esatte a meno di termini proporzionali alle equazioni del moto ed è possibile dimostrare che sono proprio questi termini a generare la non-olomorfia delle ampiezze. In uno schema alternativo, ma equivalente, nel quale il multipletto della gravità topologica non appare esplicitamente nel formalismo, è possibile dimostrare [2,5,7,8] che le deformazioni anti-olomorfe non sono esatte nella comologia di BRS rilevante, che è quella equivariante rispetto ad una certa condizione che viene specificata nei miei lavori.

La mia ricerca ha dunque elucidato il senso, limitato, nel quale le ampiezze di stringa del modello B sono ``semi-classiche'': lo sono a meno dei termini di contatto che, invece, sono genuinamente quantistici e perfino non-perturbativi in termini del modello sigma non-lineare che vive sul ``foglio di universo'' della stringa. La non-olomorfia delle ampiezze non è il segnale di un'anomalia di BRS ma riflette la presenza dei termini di contatto che garantiscono l'indipendenza delle ampiezze fisiche dalla scelta del gauge. Sulla sfera, che è il contesto nel quale lo studio del modello B ha trovato applicazione alla simmetria ``mirror'', la soluzione delle identità di Ward da me derivate descrive precisamente i termini di contatto e la non-olomorfia associati alla connessione della geometria speciale.

Per le ampiezze di genere zero, pertanto, il mio programma di ricerca può considerarsi completato. Sfortunatamente l'estensione di questi risultati alle superfici di Riemann di genere arbitrario si è rivelata ardua: in particolare appare difficile ricavare una soluzione esplicita delle identità di Ward che fissi termini di contatto associati a degenerazioni delle superfici di Riemann di genere alto. Tali contatti dovrebbero essere descritti da una ipotetica quanto interessante ed elusiva generalizzazione ``quantistica'' della geometria speciale. Per quanto riguarda l'anomalia olomorfa, l'equazione corrispondente, valida a tutti i generi, è nota ed è stata derivata postulando la geometria speciale a genere zero e utilizzando proprietà di fattorizzazione delle ampiezze di stringa a genere più alto: in base ai risultati descritti, la sua comprensione coerente con la simmetria (quantistica) di BRS della teoria di campo bi-dimensionale, dovrebbe essere possibile ma è tuttora incompleta. Per questa ragione mentre alcuni dei risultati appena sintetizzati sono stati pubblicati sotto forma di comunicazione a conferenze o contributi a libri, la pubblicazione di una sintesi organica e completa di tutti gli aspetti della linea di ricerca esposta è stato rinviata ad un momento successivo.

Un'altra ricerca da me perseguita [6] ha affrontato una problematica che emerge nel contesto della corrispondenza, o dualità, tra teorie di campo conformi (CFT) e teorie di stringa su spazi di anti de Sitter (AdS). La dualità AdS/CFT, nota anche come corrispondenza olografica, costituisce uno dei temi sui quali maggiormente si è incentrato, in questi ultimi anni, lo sforzo di ricerca teorica che riguarda la teoria delle corde. Tale dualità, che è di natura congetturale, stabilisce una relazione tra determinate teorie di gauge in d dimensioni con gruppo di gauge SU(N) e certe teorie di corda su spazi d+1-dimensionali con geometria di anti de Sitter. La congettura è pertanto di grande interesse sia per lo studio delle proprietà non-perturbative delle teorie di gauge quantistiche che per lo studio della teoria di corda. L'ipotesi dell'esistenza di una dualità di questo tipo era stata avanzata già negli anni `70 nel quadro di un approccio allo studio del limite di accoppiamento forte delle teorie di gauge non-abeliane e del confinamento che va sotto il nome di ``espansione 1/N'' delle teorie di gauge. La corrispondenza AdS/CFT può dunque essere pensata come una realizzazione di questa vecchia ipotesi che precisa la natura della teoria di corda legata per dualità alla teoria di gauge. L'espansione 1/N della teoria di gauge è identificata con l'espansione perturbativa su superfici di Riemann delle ampiezze della teoria di stringa. La congettura olografica collega pertanto, in particolare, il limite di grandi N della teoria di gauge con il limite classico della teoria di corda, cioè con una teoria di supergravità.

Gran parte delle verifiche della congettura AdS/CFT sono in realtà delle verifiche della corrispondenza tre algebre di simmetria delle teorie di gauge e di stringa in questione. Le verifiche che vanno al di là di una mera corrispondenza di simmetrie sono scarse: tra queste c'è la corrispondenza tra le anomalie di traccia. Il mio lavoro [6] approfondisce la natura di questa corrispondenza. Le teorie di campo conformi in d dimensioni sono caratterizzate da anomalie di traccia che si esprimono come combinazione lineare di certe densità costruite con il tensore di Riemann d-dimensionale. I coefficienti di queste combinazioni lineari dipendono dallo specifico modello considerato e sono determinati da un calcolo ad un 1-loop nella teoria di campo quantistica mentre le densità tensoriali sono le soluzioni di un certo problema comologico. Dal punto di vista della teoria di supergravità in d+1 dimensioni, l'anomalia riflette invece le proprietà di trasformazione della azione di supergravità classica - valutata sulle soluzioni delle equazioni del moto come funzione dei valori dei campi sul bordo dello spazio di anti de Sitter - sotto una classe speciale di diffeomorfismi: quelli che lasciano invariato il bordo dello spazio di anti de Sitter. Il mio lavoro individua gli aspetti ``universali'', indipendenti cioè dalla particolare azione di supergravità classica considerata, di questa corrispondenza. In particolare ottiene una formula generale per il coefficiente di una delle densità tensoriali associate alle anomalie di traccia, la densità di Eulero: questa anomalia è universale, nel senso che esiste in ogni dimensione pari ed è caratterizzata da proprietà comologiche particolari. Dal punto di vista tecnico il lavoro in questione mostra che l'azione di supergravità sul bordo dello spazio di anti de Sitter soddisfa delle equazioni di tipo comologico che sono strettamente collegate con le equazioni si consistenza di Wess-Zumino per le anomalie di traccia.

L'espansione 1/N delle teorie di campo è il contesto di un altro lavoro da me iniziato nell'estate 2001 ma completato nel febbraio 2002 [9]. In questo lavoro viene derivata l'equazione del gruppo di rinormalizzazione di Wilson-Polchinski per una teoria di campo matriciale nel limite di grandi N. Il risultato forse più sorprendente di questo lavoro è che questa equazione coinvolge non soltanto le ampiezze planari ma anche quelle non-planari con topologica sferica. Un aspetto interessante dell'equazione derivata in [9] è che essa, contrariamente all'equazione ordinaria di Wilson-Polchinski, è del primo ordine nelle derivate funzionali rispetto alle sorgenti.

L'equazione si applica anche alle teorie di campo non-commutative che emergono in un certo limite della teoria delle corde in presenza di un campo antisimmetrico di background: dovrebbe rappresentare pertanto lo strumento idoneo per stabilire le proprietà di rinormalizzazione, tutt'ora non completamente comprese, di queste teorie quantistiche di campo non-locali.

Elenco delle Pubblicazioni del periodo 1998-2001

[1] "The BRST structure of twisted N=2 algebra''.

C.M. Becchi, S. Giusto e C. Imbimbo, in it Secondary Calculus and Cohomology Physics, Contemporary Mathematics Series della American Mathematical Society, a cura di M. Hennaux, J. Krasil'shchik e A. Vinogradov (American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998).

[2] "The Holomorphic Anomaly of Topological Strings'', C.M. Becchi, S. Giusto e C. Imbimbo,

Fortfschritte der Physik 47 (1999) 195.

[3] "The Algebraic Method in Renormalization Theory'',

C.M. Becchi, S. Giusto e C. Imbimbo, in Quantum Field Theory, Springer Lecture Notes in Physics Vol. 558,

Atti del Simposio su QFT, Tegernsee (Repubblica Federale di Germania),

a cura di P. Breitenlohner et al. (Springer Verlag, Berlino, 2000).

[4] "The Functional Measure of Gauge Theories in the Presence of Gribov Horizons'', C.M. Becchi, S. Giusto e C. Imbimbo, in Path Integrals from peV to TeV, Atti della Conferenza di Firenze, Agosto 1998, (World Scientific Publishing, Singapore).

[5] "Topological Strings, Contact Terms and the Holomorphic Anomaly'',

C.M. Becchi, S. Giusto and C. Imbimbo, in Quantum Aspects of Gauge Theories, Supersymmetry and Unification IV, Springer Lecture Notes in Physics Vol. 525, a cura di A. Ceresole et al., (Springer Verlag, Berlino, 1999).

[6] "Diffeomorphisms and Holographic Anomalies'', C. Imbimbo, A. Schwimmer, S. Theisen e S. Yankielowicz,

Classical and Quantum Gravity 17 (2000) 1.

[7] "Holomorphy and Topological Symmetry'', C. Imbimbo, in BRS day in honor of Carlo Becchi's 60th Birthday, Atti del Congresso di Cortona, Giugno 1999 (Punto editoriale, Genova, 2000).

[8] "The Holomorphic Anomaly of Topological Strings and Quantum Field Theory'', C. Imbimbo, in Complex Geometry 1998, Atti della Conferenza di Parigi, 1998, a cura di F. Norguet e S. Ofman (International Press, Boston, 2001).

Articoli iniziati nel periodo 1998-2001 e completati nel 2002

[9] "The Wilson-Polchinski Renormalization Group Equation in The Planar Limit'', C.M. Becchi, S. Giusto e C. Imbimbo, preprint, Febbraio 2002, hep-th/0202155, sottomesso per pubblicazione a Nuclear Physics B.